Шкала наименований используется для описания принадлежности объектов к определенным классам. Это самая слабая качественная шкала. Всем объектам одного и того же класса присваивается одно и то же число, а объектам разных классов – разные числа. В связи с этим шкала наименований часто называется шкалой классификации . Она сохраняет отношения эквивалентности и различия между объектами и используется для индексации номенклатуры изделий (спецификация изделий), документов и видов информации в АСУ, нумерации подразделений в организации и т.п. Существует большое число вариантов присвоения чисел классам эквивалентных объектов. Следовательно, понятие единственности отображения f состоит для шкалы наименований во взаимооднозначности допустимого преобразования . Это означает, что если имеются два варианта приписывания классам числовых значений, то они должны быть связаны между собой взаимооднозначно, что позволяет установить связь между числовыми вариантами описания классов эквивалентности. Таким образом, шкала наименований единственна с точностью до взаимооднозначного преобразования. Это означает, что в данной шкале отсутствуют понятия масштаба и начала отсчета.
Название «номинальный» объясняется тем, что такой признак дает лишь ничем не связанные имена объектам. Эти значения для разных объектов либо совпадают, либо различаются; никакие более тонкие соотношения между значениями не зафиксированы. Шкалы номинального типа допускают только различение объектов на основе проверки выполнения отношения равенства на множестве этих элементов.
Номинальный тип шкал соответствует простейшему виду измерений, при котором шкальные значения используются лишь как имена объектов, поэтому шкалы номинального типа часто называют также шкалами наименований.
Примерами измерений в номинальном типе шкал могут служить номера автомашин, телефонов, коды городов, лиц, объектов и т. п. Единственная цель таких измерений выявление различий между объектами разных классов. Если каждый класс состоит из одного объекта, шкала наименований используется для различения объектов.
На рис.3.5 изображено измерение в номинальной шкале объектов, представляющих три множества элементов А, В, С.
Рис.3.5. Измерение объектов в номинальной шкале
Здесь эмпирическую систему представляют четыре элемента: а A, b В, {с, d} С,принадлежащих соответствующим множествам. Знаковая система представлена цифровой шкалой наименований, включающей элементы 1,2,...,n и сохраняющей отношение равенства. Гомоморфное отображение ставит в соответствие каждому элементу из эмпирической системы определенный элемент знаковой системы. Следует обратить внимание на две особенности номинальных шкал.
Во-первых , элементам cud поставлено в соответствие одно и то же значение шкалы измерения (см. рис.3.5). Это означает, что при измерении эти элементы не различаются.
Во-вторых , при измерении в шкале наименований символы 1,2,3,...,n, используемые в качестве шкальных значений, являются не числами, а цифрами, служащими лишь для обозначения и различия объектов. Так, цифра 2 не является в два раза или на единицу больше цифры 1 в отличие от чисел 2 и 1.
Всякая обработка результатов измерения в номинальной шкале должна учитывать данные особенности. В противном случае могут быть сделаны ошибочные выводы по оценке систем, не соответствующие действительности.
Шкала порядка
Шкала называется ранговой (шкала порядка), если множество допустимых преобразований состоит из всех монотонно возрастающих допустимых преобразований шкальных значений. Следовательно, шкала порядка единственна с точностью до монотонного преобразования.
Монотонно возрастающим называется такое преобразование , которое удовлетворяет условию: если , то и для любых шкальных значений из области определения . Порядковый тип шкал допускает не только различие объектов, как номинальный тип, но и используется для упорядочения объектов по измеряемым свойствам. Числа в шкале определяют порядок следования объектов и не дают возможности сказать, на сколько или во сколько раз один объект предпочтительнее другого. В этой шкале также отсутствуют понятия масштаба и начала отсчета.
Измерение в шкале порядка может применяться, например, в следующих ситуациях:
· необходимо упорядочить объекты во времени или пространстве. Это ситуация, когда интересуются не сравнением степени выраженности какого-либо их качества, а лишь взаимным пространственным или временным расположением этих объектов;
· нужно упорядочить объекты в соответствии с каким-либо качеством , но при этом не требуется производить его точное измерение;
· какое-либо качество в принципе измеримо, но в настоящий момент не может быть измерено по причинам практического или теоретического характера.
Примером шкалы порядка может служить шкала твердости минералов, предложенная в 1811 г. немецким ученым Ф. Моосом и до сих пор распространенная в полевой геологической работе. Другими примерами шкал порядка могут служить шкалы силы ветра, силы землетрясения, сортности товаров в торговле, различные социологические шкалы и т.п.
Любая шкала, полученная из шкалы порядка с помощью произвольного монотонно возрастающего преобразования шкальных значений, будет также точной шкалой порядка для исходной эмпирической системы с отношениями.
Несколько более «сильными», чем порядковые шкалы, являются шкалы гиперпорядка . Допустимыми для этих шкал являются гипермонотонные преобразования, т.е. преобразования , такие, что для любых :
только когда принадлежат области определения и .
Таким образом, при измерении в шкалах гиперпорядка сохраняется упорядочение разностей численных оценок.
Шкала интервалов
Шкала интервалов применяется для отображения величины различия между свойствами объектов. Примером использования этой шкалы является измерение температуры в градусах Фаренгейта или Цельсия. При экспертном оценивании шкала интервалов применяется для оценки полезности объектов. Основным свойством шкалы интервалов является равенство интервалов. Интервальная шкала может иметь произвольные точки отсчета и масштаб. Следовательно, шкала интервалов единственна с точностью до линейного преобразования. В этой шкале отношение разности чисел в двух числовых системах определяется масштабом измерения.
Одним из наиболее важных типов шкал является тип интервалов . Тип шкал интервалов содержит шкалы, единственные с точностью до множества положительных линейных допустимых преобразований вида
,
гдеa>0; b –любое значение. Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений интервалов в эквивалентных шкалах:
Отсюда и происходит название данного типа шкал. Примером шкал интервалов могут служить шкалы температур. В этом случае функция допустимого преобразования градусов по шкале Цельсия в градусы по шкале Фаренгейта имеет вид
,
и наоборот, функция допустимого преобразования градусов по шкале Фаренгейта в градусы по шкале Цельсия имеет вид
.
Другим примером измерения в интервальной шкале может служить признак «дата совершения события», поскольку для измерения времени в конкретной шкале необходимо фиксировать масштаб и начало отсчета. Григорианский и мусульманский календари две конкретизации шкал интервалов.
Таким образом, при переходе к эквивалентным шкалам с помощью линейных преобразований в шкалах интервалов происходит изменение как начала отсчета (параметр b), так и масштаба измерений (параметр a).
Шкалы интервалов так же, как номинальная и порядковая, сохраняют различие и упорядочение измеряемых объектов. Однако кроме этого они сохраняют и отношение расстояний между парами объектов. Запись
означает, что расстояние между и в К раз больше расстояния между х 3 и х 4 и в любой эквивалентной шкале это значение (отношение разностей численных оценок) сохранится. При этом отношения самих оценок не сохраняются.
В социологических исследованиях в шкалах интервалов обычно измеряют временные и пространственные характеристики объектов. Например, даты событий, стаж, возраст, время выполнения заданий, разницу в отметках на графической шкале и т.д. Однако прямое отождествление замеренных переменных с изучаемым свойством не столь просто.
В качестве другого примера рассмотрим испытание умственных способностей, при котором измеряется время, требуемое для решения какой-нибудь задачи. Хотя физическое время измеряется в шкале интервалов, время, используемое как мера умственных способностей, принадлежит шкале порядка. Для того чтобы построить более совершенную шкалу, необходимо исследовать более богатую структуру этого свойства.
Типичная ошибка: свойства, измеряемые в шкале интервалов, принимаются в качестве показателей для других свойств, монотонно связанных с данными. Применяемые для измерения связанных свойств исходные шкалы интервалов становятся всего лишь шкалами порядка. Игнорирование этого факта часто приводит к неверным результатам.
Наиболее широко при проведении социологических измерений применяются следующие два типа интервальной шкалы.
На основе шкалы Лайкерта изучается степень согласия или несогласия респондентов с определенными высказываниями. Эта шкала носит симметричный характер и измеряет интенсивность чувств респондентов. Например, содержит следующие градации: совершенно согласен (1); в какой-то мере согласен (2); отношусь нейтрально (3); в какой-то мере не согласен (4); совершенно не согласен (5). В скобках указаны баллы, приписываемые ответам на вопросы анкеты, содержащимся в определенных градациях.
С помощью шкалы Лайкерта может быть изучено мнение (отношение) сотрудников какой-то организации к различным управленческим аспектам: системе мотивации труда, психологическому климату в коллективе, к политике нововведений и др.
Существуют различные варианты модификации шкалы Лайкерта, например, вводится различное число градаций (5-9).
Семантическая дифференциальная шкала (семантический дифференции) содержит серию двухполярных определений, характеризующих различные свойства изучаемого объекта. Данная шкала была разработана американским ученым Ч.Осгудом для измерения смысла понятий и слов, и прежде всего для дифференциации эмоциональной стороны объекта измерения при изучении социальных установок. Таким путем определялась реакция человека в отношении изучаемого объекта.
Например, при оценке морального климата в коллективе при разработке анкеты вначале выбираются характеризующие его показатели (отношения между сотрудниками, отношения между руководителями, отношения между руководителями и подчиненными и др.). Затем для каждого показателя (вопроса анкеты) составляется шкала, представляющая собой континуум образованный парой антонимичных прилагательных. Континуум содержит семь градаций интенсивности отношений. Например, по вопросу, характеризующему отношения между сотрудниками, шкала имеет следующие градации:
Очень хорошие (+3);
Хорошие (+2);
Скорее хорошие (+1);
Ни хорошие, ни плохие (0)
Скорее плохие (-1);
Плохие (-2);
Очень плохие (-3).
Каждый респондент выражает свое отношение к изучаемой проблеме по всему набору шкал. Данный тип шкалы также часто используется при определении имиджа торговой марки, магазина и т.п.
Шкала отношений
Шкалой отношений (подобия) называется шкала, если множество допустимых преобразований состоит из преобразований подобия
гдеа>0 –действительные числа. Нетрудно убедиться, что в шкалах отношений остаются неизменными отношения численных оценок объектов. Действительно, пусть в одной шкале объектам и соответствуют шкальные значения и , а в другой и . Тогда имеем:
Данное соотношение объясняет название шкал отношений. Примерами измерений в шкалах отношений являются измерения массы и длины объектов. Известно, что при установлении массы используется большое разнообразие численных оценок. Так, производя измерение в килограммах, получаем одно численное значение, при измерении в фунтах - другое и т.д. Однако можно заметить, что в какой бы системе единиц ни производилось измерение массы, отношение масс любых объектов одинаково и при переходе от одной числовой системы к другой, эквивалентной, не меняется. Этим же свойством обладает и измерение расстояний и длин предметов.
Как видно из рассмотренных примеров, шкалы отношений отражают отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта.
Шкалы отношений образуют подмножество шкал интервалов фиксированием нулевого значения параметра b: b = 0. Такая фиксация означает задание нулевой точки начала отсчета шкальных значений для всех шкал отношений. Переход от одной шкалы отношений к другой, эквивалентной ей шкале осуществляется с помощью преобразований подобия (растяжения), т.е. изменением масштаба измерений. Шкалы отношений, являясь частным случаем шкал интервалов, при выборе нулевой точки отсчета сохраняют не только отношения свойств объектов, но и отношения расстояний между парами объектов.
Шкала разностей
Шкалы разностей определяются как шкалы, единственные с точностью до преобразований сдвига
b – действительные числа. Это означает, что при переходе от одной числовой системы к другой меняется лишь начало отсчета. Шкалы разностей применяются в тех случаях, когда необходимо измерить, насколько один объект превосходит по определенному свойству другой объект. В шкалах разностей неизменными остаются разности численных оценок свойств. Действительно, если и - оценки объектов и в одной шкале, а и - в другой шкале, то имеем:
Примерами измерений в шкалах разностей могут служить измерения прироста продукции предприятий (в абсолютных единицах) в текущем году по сравнению с прошлым, увеличение численности учреждений, количество приобретенной техники за год и т.д.
Другим примером измерения в шкале разностей является летоисчисление (в годах). Переход от одного летоисчисления к другому осуществляется изменением начала отсчета.
Как и шкалы отношений, шкалы разностей являются частным случаем шкал интервалов, получаемых фиксированием параметра а (а= 1), т.е. выбором единицы масштаба измерений. Точка отсчета в шкалах разностей может быть произвольной Шкалы разностей, как и шкалы интервалов, сохраняют отношения интервалов между оценками пар объектов, но, в отличие от шкалы отношений, не сохраняют отношения оценок свойств объектов.
Абсолютная шкала
Абсолютная шкала – в которых единственными допустимыми преобразованиями являются тождественные преобразования: . Это означает, что существует только одно отображение эмпирических объектов в числовую систему. Отсюда и название шкалы, так как для нее единственность измерения понимается в буквальном абсолютном смысле.
Абсолютные шкалы применяются, например, для измерения количества объектов, предметов, событий, решений и т.п. В качестве шкальных значений при измерении количества объектов используются натуральные числа, когда объекты представлены целыми единицами, и действительные числа, если кроме целых единиц присутствуют и части объектов.
Абсолютные шкалы являются частным случаем всех ранее рассмотренных типов шкал, поэтому сохраняют любые соотношения между числами оценками измеряемых свойств объектов: различие, порядок, отношение интервалов, отношение и разность значений и т.д.
Кроме указанных существуют промежуточные типы шкал, такие, например, как степенная шкала () и ее разновидность логарифмическая шкала ().
На рис.3.6 изображено соотношение между основными типами шкал в виде иерархической структуры основных шкал.
Рис.3.6. Иерархическая структура основных шкал
Здесь стрелки указывают включение совокупностей допустимых преобразований более «сильных» в менее «сильные» типы шкал. При этом шкала тем «сильнее», чем меньше свободы в выборе . Некоторые шкалы являются изоморфными, т.е. равносильными . Например, равносильны шкала интервалов и степенная шкала. Логарифмическая шкала равносильна шкале разностей и шкале отношений.
Шкалы наименований и порядка являются качественными шкалами. В шкале наименований описывается различие или эквивалентность объектов, а в шкале порядка – качественное превосходство, отличие объектов. В этих шкалах нет понятия начала отсчета и масштаба измерения.
Шкалы интервалов, отношений, разностей и абсолютная шкала являются количественными шкалами. В этих шкалах существуют понятия начала отсчета и масштаба, которые выбираются произвольно . Количественные шкалы позволяют измерить, на сколько (шкалы интервалов и разностей) или во сколько (шкалы отношений и абсолютная) раз один объект отличается от другого по выбранному показателю.
Выбор той или иной шкалы для измерения определяется характером отношений между объектами эмпирической системы, наличием информации об этих отношениях и целями принятия решения. Применение количественных шкал требует значительно более полной информации об объектах по сравнению с применением качественных шкал.
Следует обратить внимание на правильное согласование выбираемой шкалы измерения с целями решения. Например, если целью решения является упорядочение объектов, то нет необходимости измерять количественные характеристики объектов, достаточно определить только качественные характеристики. Типичным примером такого решения является подведение определение наилучших предприятий. Для решения этой задачи, как правило, не требуется определять, на сколько или во сколько раз один объект лучше другого, т.е. нет необходимости при таком измерении пользоваться количественными шкалами.
Измерительные шкалы
Термин «шкала» происходит от латинского слова «Scala», что в переводе означает лестница.
Шкалой измерений называют принятый по соглашению порядок определения и обозначения всевозможных проявлений конкретного свойства (например, значений размера). Различают пять основный типов шкал измерений: наименований, порядка, интервалов (разностей), отношений и абсолютные шкалы.
Шкала наименований .
Это самые простые шкалы, которые отражают качественные свойства. Их элементы характеризуются только соотношениями эквивалентности (равенства) и сходства конкретных качественных проявлений свойства.
Эти шкалы не имеют нуля и единицы измерений, в них отсутствуют отношения сопоставления типа «больше-меньше». На шкале наименований нельзя производить арифметические действия.
Измерение сводится к сравнению измеряемого объекта с эталонными и выбору одного из них (или двух соседних) совпадающего с измеряемым. Измерения в шкалах наименований выполняются довольно часто. Результаты качественного анализа (определение группы крови) – это измерения в шкале наименований.
Шкала порядка .
Шкала порядка. Сравнение одного размера с другим по принципу «что больше» или «что лучше» производится по шкале порядка. Эти шкалы не имеют единиц измерений. Более подробная информация насколько больше ил во сколько раз лучше иногда не требуется. Построив людей по росту, пользуясь шкалой порядка, можно сделать вывод о том, кто выше, однако сказать насколько выше или во сколько нельзя.
Расстановка размеров по мере возрастания или убывания для получения измерительной информации по шкале порядка называется ранжированием. По шкале порядка сравниваются между собой размеры, которые остаются сами неизвестными. Результатом сравнения является ранжированный ряд.
Измерения по шкале порядка являются самыми несовершенными, наименее информативными. Они не дают ответа на вопрос о том, на сколько или во сколько раз один размер больше другого. На шкале порядка могут выполняться лишь некоторые логические операции. Например, если первый размер больше второго, а второй больше третьего, то и первый больше третьего. Если два размера меньше третьего, то их разность меньше третьего.
Эти свойства шкалы называются свойствами транзитивности. В то же время на шкале порядка не могут выполняться никакие арифметические действия.
Измерения по шкале порядка широко используются при контроле. Здесь поверяемый размер Q 1 сравнивается с контрольным Q 2 . Результатом измерения служит решение о том, годно или негодно изделие по контролируемому размеру.
Классическим примером является оценивание твердости минералов на основе шкалы Мооса. Шкала Мооса относительной твердости минералов состоит из 10 эталонов твердости: тальк -1; гипс - 2; кальцит - 3; флюорит - 4; апатит - 5; ортоглаз - 6; кварц - 7; топаз - 8; корунд - 9; алмаз - 10. Относительная твердость определяется путем царапания эталоном поверхности испытываемого объекта. Как праило, шкала порядка используется в том случае, когда не существует метода, позволяющего осуществить оценку в установленных еденицах измерения.
Реперные шкалы.
Для облегчения измерений на шкале порядка можно
зафиксировать некоторые опорные точки в качестве «реперных». Такая шкала называется реперной.
Точкам реперных шкал могут быть проставлены цифры, называемые баллами.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
По реперным шкалам измеряются:
интенсивность землетрясений по 12- ти балльной международной шкале MSK – 64 (табл.1);
сила ветра по шкале Бофорта (табл. 2).;
сила морского волнения;
чувствительность фотопленки;
степень торошения льда;
твердость минералов и т.д.
Например, для оценки скорости (силы) ветра в баллах по его действию на наземные предметы или по волнению на море была составлена условная шкала Ф Бофортом в 1805 г. Соотношения между баллами и скоростью ветра на высоте 10 м была принята в 1946 г. по международному соглашению.
Недостатком реперных шкал является неопределенность интервалов между реперными точками. Поэтому баллы нельзя складывать, вычитать, умножать или делить. Измерительная информация, полученная по шкале порядка непригодна для математической обработки. Невозможно и внесение в результат измерения поправки, ибо если сами сравниваемые размеры неизвестны, то внесение поправки не вносит ясности.
Таблица 1
Название |
Краткая характеристика |
|
Незамет-ное |
Отмечается только сейсмическими приборами |
|
Очень слабое |
Ощущается отдельными людьми, находящимися в состоянии покоя |
|
Ощущается небольшой частью населения. |
||
Умерен-ное |
Распознается по мелкому дребезжанию и колебанию предметов и оконных стекол, скрипу дверей и стен. |
|
Доволь-но сильное |
Общее сотрясение зданий, колебания мебели, трещины оконных стекол и штукатурки, пробуждение спящих. |
|
Ощущается всеми. Картины падают со стен, откалываются куски штукатурки, легкое повреждение зданий. |
||
Очень сильное |
Трещины в стенах каменных домов. Антисейсмические, а также деревянные постройки остаются невредимыми |
|
Разруши-тельное. |
Трещины в крутых склонах и на сырой почве. Памятники сдвигаются с места или падают. Дома сильно повреждаются. |
|
Опустоши-тельное |
Сильное повреждение и разрушение каменных домов. |
|
Уничто-жающее |
Крупные трещины в почве. Оползни и обвалы. Разрушение каменных построек, искривление железнодорожных рельсов. |
|
Катаст-рофа |
Широкие трещины в земле. Многочисленные оползни и обвалы. Каменные дома совершенно разрушаются. |
|
Сильная катаст-рофа |
Изменение в почве достигает огромных размеров. Многочисленные обвалы, оползни, трещины. Возникновение водопадов, подпруд на озерах. Отклонение течения рек. Ни одно сооружение не выдерживает. |
Таблица 2
Название ветра |
Действие |
|
Дым идет вертикально |
||
Дым идет слегка наклонно |
||
Ощущается лицом, шелестят листья. |
||
Развеваются флаги |
||
Умеренный |
Поднимается пыль |
|
Вызывает волны на воде |
||
Свистит в вантах, гудят провода |
||
На волнах образуется пена |
||
Очень крепкий |
Трудно идти против ветра |
|
Срывает черепицу |
||
Сильный шторм |
Вырывает деревья с корнем |
|
Жестокий шторм |
Большие разрушения. |
|
Опустошительное действие |
Шкала интервалов .
Более совершенными в этом отношении являются шкалы интервалов, составленные из строго определенных интервалов. На шкале интервалов откладывается разность между размерами. Общепринятой является измерение времени по шкале, разбитой на интервалы, равные периоду обращения Земли вокруг Солнца (летоисчесление). Эти интервалы (годы) делятся в свою очередь на более мелкие (сутки), равные периоду обращения Земли вокруг оси. Сутки в свою очередь делятся на часы, часы на минуты, минуты на секунды. Такая шкала называется шкалой интервалов
На шкале интервалов определены такие математические действия, как сложение и вычитание. Интервалы с учетом знаков можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга. Благодаря этому можно определить, на сколько один размер больше или меньше другого.
Ввиду неопределенности начала отсчета на шкале интервалов нельзя определять во сколько раз один размер больше или меньше другого.
Иногда шкалы интервалов иногда получают путем пропорционального деления интервала между реперными точками. Так, на температурной шкале Цельсия за начало отсчета принята температура таяния льда. С ней сравниваются все другие температуры. Для удобства пользования шкалой интервалов шкала между температурой таяния льда и температурой кипения воды разбит на 100 равных интервалов – градации или градусов. Вся шкала Цельсия разбита на градусы как в сторону положительных, так и в сторону отрицательных интервалов.
На температурной шкале Реомюра за начало отсчета принята та же температура таяния льда, но интервал между этой температурой и температурой кипения воды разбит на 80 равных частей. Тем самым используется другая градация температуры: температура Реомюра больше чем температура Цельсия.
На температурной шкале Фаренгейта тот же интервал разбит на 180 частей. Следовательно, градус Фаренгейта меньше градуса Цельсия. Кроме того, начало отсчета интервалов на шкале Фаренгейта сдвинут на 32 0 в сторону низких температур.
Деление шкалы на рваные части – градации – устанавливает на ней масштаб и позволяет выразить результат измерения в числовой мере.
Шкала отношений.
Если в качестве одной из двух реперных точек выбрать такую, в которой размер не принимается равным нулю, а равен нулю на самом деле, то по такой шкале можно отсчитывать абсолютное значение размера и определять во сколько раз один размер больше ли меньше другого. Эта шкала называется шкалой отношений. Примером может служить температурная шкала Кельвина. В ней за начало отсчета принят абсолютный нуль температуры, при котором прекращается тепловое движение молекул. Второй реперной точкой служит температура таяния льда. По шкале Цельсия интервал между этими реперными точками равен 273,16 0 С. Поэтому на шкале Кельвина интервал между этими точками делят на 273,16 частей. Каждая такая часть называется Кельвином и равна градусу Цельсия, что облегчает переход от одной шкалы в другую.
Шкала отношений является самой совершенной, наиболее информативной. На ней определены все математические действия.: сложение, вычитание, умножение и деление. Отсюда следует, что значения любых размеров на шкале отношений можно складывать между собой, вычитать, перемножать и делить. Следовательно, можно определить, насколько или во сколько раз один размер больше или меньше другого.
В зависимости от того, на какие интервалы разбита шкала, один и тот же размер проставляется по разному. Например, 0,001 км; 1 м; 100 см; 1000 м – четыре варианта представления одного и того же размера. Их называют значениями измеряемой величины.
Таким образом, значение измеряемой величины – это выражение ее размера в определенных единицах измерения. Входящее в нее отвлеченное число называется числовым значением .
Значение
измеряемой величины Q
определяется ее числовым значением g
м некоторым размером
,
принятым за единицу измерения:
. (53)
где Q – измеряемая величина;
- единица измерения;
g – числовое значение.
Абсолютные шкалы . Они обладают всеми свойствами шкал отношений. Единицы абсолютных шкал естественны, а не выбраны по соглашению, но эти единицы безразмерны (разы, проценты, доли, полные углы и т. д.). Единицы величин, описываемые абсолютными, не являются производными единицами СИ, так как по определению производные единицы не могут быть безразмерными. Это внесистемные единицы. Стерадиан и радиан – это типичные единицы абсолютных шкал. Абсолютные шкалы бывают ограниченными и неограниченными.
Ограниченные шкалы – это, обычно, шкалы с диапазоном от нуля до единицы (КПД, коэффициент поглощения или отражения и т. п.). Примерами неограниченных шкал являются шкалы, на которых измеряются коэффициенты усиления, ослабления и т. п.
Эти шкалы принципиально нелинейны. Поэтому они не имеют единиц измерений.
ВВЕДЕНИЕ
ПОНЯТИЕ ОБ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ШКАЛАХ
ВИДЫ ШКАЛ
1 Шкала наименований
2 Шкала порядка
3 Шкала интервалов
4 Шкала отношений
5 Другие шкалы
6 Взаимосвязь различных школ между собой
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность исследования заключается в том, что в своей работе психолог достаточно часто сталкивается с проблемой измерения индивидуально-психологических особенностей таких, например, как креативность, нейротизм, импульсивность, свойства нервной системы и т.п. Для этого в психодиагностике разрабатываются специальные измерительные процедуры, в том числе и тесты.
Помимо того в психологии широко используются экспериментальные методы и модели исследования психических феноменов в познавательной и личностной сферах. Это могут быть модели процессов познания (восприятия, памяти, мышления) или особенности мотивации, ценностных ориентации, личности и т.п. Главное заключается в том, что в ходе эксперимента изучаемые характеристики могут получать количественное выражение. Количественные данные, полученные в результате тщательно спланированного эксперимента по определенным измерительным процедурам, используются затем для статистической обработки.
Любое измерение производится с помощью инструмента измерения. То, что измеряется, называется переменной, то чем измеряют - инструмент измерения. Результаты измерения называются данными либо результатами (говорят «были получены данные измерения»). Полученные данные могут быть разного качества - относиться к одной из четырех шкал измерения. Каждая шкала ограничивает использование определённых математических операций, и соответственно ограничивает применение определённых методов математической статистики.
Цель реферата - изучить понятие и классификацию измерительной шкалы.
.Рассмотреть понятие измерительной шкалы.
.Проанализировать классификацию и основные виды измерительных шкал.
.Сделать компаративный анализ сравнительных шкал.
В процессе выполнения реферата использовались следующие методы: метод индукция и дедукция, сравнение и др.
Источниками информации для написания работы явились учебники, периодические издания по теме исследования, научные труды Гусева А.Н., Стивенсона С., Перегудова Ф.И., Тарасевича Ф.П., Корнилова Т.В.
1. ПОНЯТИЕ ОБ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ШКАЛАХ
Измерение может быть самостоятельным исследовательским методом, но может выступать и как компонент целостной процедуры эксперимента. Как самостоятельный метод измерение служит для выявления индивидуальных различий в поведении субъектов и отражения ими окружающего мира, а также для исследования адекватности отражения и структуры индивидуального опыта.
Измерение в процедуре эксперимента рассматривается как метод регистрации состояния объекта исследования и соответственно изменения этого состояния в ответ на экспериментальное воздействие.
Понятие измерительной шкалы введено в психологию американским ученым С. Стивенсом. Его трактовка шкалы и сегодня используется в научной литературе.
Итак, приписывание чисел объектам создает шкалу. Создание шкалы возможно, поскольку существует изоморфизм формальных систем и систем действий, производимых над реальными объектами.
Числовая система является множеством элементов с реализованными на нем отношениями и служит моделью для множества измеряемых объектов.
Различают несколько типов таких систем и соответственно несколько типов шкал. Операции, а именно - способы измерения объектов, задают тип шкалы. Шкала в свою очередь характеризуется видом преобразований, которые могут быть отнесены к результатам измерения. Если не соблюдать это правило, то структура шкалы нарушится, а данные измерения нельзя будет осмысленно интерпретировать.
Тип шкалы однозначно определяет совокупность статистических методов, которые могут быть применены для обработки данных измерения.
Шкала (лат. scala - лестница) - инструмент для измерения непрерывных свойств объекта; представляет собой числовую систему, где отношения между различными свойствами объектов выражены свойствами числового ряда.
П. Суппес и Дж. Зинес дали классическое определение шкалы: «Пусть А-эмпирическая система с отношениями (ЭСО), R- полная числовая система с отношениями (ЧСО), F- функция, которая гомоморфно отображает - А в подсистему - R (если в области нет двух разных объектов с одинаковой мерой, что является отображением изоморфизма). Назовем шкалой упорядоченную тройку <А; R; f>».
Обычно в качестве числовой системы R выбирается система действительных чисел или ее подсистема. Множество А - это совокупность измеряемых объектов с системой отношений, определенной на этом множестве. Отображение f- правило приписывания каждому объекту определенного числа.
В настоящее время определение Суппеса и Зинеса уточнено. Во-первых, в определение шкалы вводится G - группа допустимых преобразований. Во-вторых, множество А - понимается не только как числовая система, но и как любая формальная знаковая система, которая может быть поставлена в отношение гомоморфизма с эмпирической системой. Таким образом, шкала - это четверка <А; R; f; G>. Согласно современным представлениям, внутренней характеристикой шкалы выступает именно группа G, а f - является лишь привязкой шкалы к конкретной ситуации измерения.
В настоящее время под измерением понимается конструирование любой функции, которая изоморфно отображает эмпирическую структуру в символическую структуру. Как уже отмечено выше, совсем не обязательно такой структурой должна быть числовая. Это может быть любая структура, с помощью которой можно измерить характеристики объектов, заменив их другими, более удобными в обращении (в том числе - числами). (2 ,3).
ВИДЫ ШКАЛ
В психологии различные шкалы используются для изучения разных характеристик социально-психологических явлений.
Первоначально выделялись четыре типа числовых систем, определявших соответственно четыре уровня, или шкалы измерения:
) шкала наименований - номинальная;
) шкала порядка - ординальная;
)шкала интервалов - интервальная;
) шкала отношений - пропорциональная.
Первые две шкалы получили название не метрических, вторые две - метрических. В соответствии с этим в психологии говорят и о двух подходах к психологическим измерениям: метрическом (более строгом) и не метрическом (менее строгом).
Ряд специалистов выделяют также абсолютную шкалу и шкалу разностей.
Рассмотрим особенности каждого типа шкал.
2.1 Шкала наименований
Шкала наименований или номинальная шкала используется только для обозначения принадлежности объекта к одному из нескольких непересекающихся классов. Приписываемые объектам символы, которые могут быть цифрами, буквами, словами или некоторыми специальными символами, представляют собой только метки соответствующих классов. Характерной особенностью номинальной шкалы является принципиальная невозможность упорядочить классы по измеряемому признаку - к ним нельзя прилагать суждения типа "больше - меньше", "лучше - хуже", и т.п. Примерами номинальных шкал являются: пол и национальность, специальность по образованию, марка сигарет, предпочитаемый цвет. Единственным отношением, определенным на шкале наименований, является отношение тождества: объекты, принадлежащие к одному классу, считаются тождественными, к разным классам - различными. Частным случаем шкалы наименований является дихотомическая шкала, с помощью которой фиксируют наличие у объекта определенного качества или его соответствие некоторому требованию.
В этой шкале числа присвоенные объектам говорят только лишь о том, что эти объекты различаются. По сути, это классификационная шкала. Так, например, исследователь может приписать женщинам ноль, а мужчинам единицу, или наоборот, и это будет говорить только о том, что это два разных класса объектов. Чисел в шкале наименований может быть столько, сколько существует классов объектов подлежащих измерению, но ни сумма этих чисел, ни их разность, ни произведение не будут иметь никакого смысла, т.к. в шкале наименований не осуществима ни одна арифметическая операция. Числа в шкале наименований могут быть любыми, хотя, как правило, отрицательные не используются. Наиболее часто в психологических исследованиях используется дихотомическая шкала наименований, которая задается двумя числами - нулем и единицей. Наиболее распространенные примеры таких шкал в психологии это: пол (мужчина - женщина), успешность выполнения задания (справился - не справился), соответствие норме (норма - патология), психологический тип (экстраверт - интроверт).
Шкала наименований получается путем присвоения "имен" объектам. При этом нужно разделить множество объектов на непересекающиеся подмножества.
Иными словами, объекты сравниваются друг с другом, и определяется их эквивалентность - неэквивалентность. В результате процедуры образуется совокупность классов эквивалентности. Объекты, принадлежащие одному классу, эквивалентны друг другу и отличны от объектов, относящихся к другим классам. Эквивалентным объектам присваиваются одинаковые имена.
Операция сравнения является первичной для построения любой шкалы. Для построения такой шкалы нужно, чтобы объект был равен или подобен сам себе (х=х для всех значений х), т.е. на множестве объектов должно быть реализовано отношение рефлексивности. Для психологических объектов, например испытуемых или психических образов, это отношение реализуемо, если абстрагироваться от времени. Но поскольку операции попарного (в частности) сравнения множества всех объектов эмпирически реализуются неодновременно, то в ходе эмпирического измерения даже это простейшее условие не выполняется.
Следует запомнить: любая шкала есть идеализация, модель реальности, даже такая простейшая, как шкала наименований.
На объектах должно быть реализовано отношение симметрии (R (X=Y) -> R (Y=X)) и транзитивности R (X=Y, Y=Z) -> R (X=Z). Но на множестве результатов психологических экспериментов эти условия могут нарушаться.
Кроме того, многократное повторение эксперимента (накопление статистики) приводит к "перемешиванию" состава классов: в лучшем случае мы можем получить оценку, указывающую на вероятность принадлежности объекта к классу.
Таким образом, нет оснований говорить о шкале наименований (номинативной шкале или шкале строгой классификации) как простейшей шкале, начальном уровне измерения в психологии.
Существуют более "примитивные" (с эмпирической, но не с математической точки зрения) виды шкал: шкалы, основанные на отношениях толерантности; шкалы "размытой" классификации и т.п.
О шкале наименований можно говорить в том случае, когда эмпирические объекты просто "метятся" числом.
Итак, если объекты в каком-то отношении эквивалентны, то мы имеем право отнести их к одному классу. Главное, как говорил Стивенс, не приписывать один и тот же символ разным классам или разные символы одному и тому же классу.
Несмотря на тенденцию "завышать" мощность шкалы, психологи очень часто применяют шкалу наименований в исследованиях. "Объективные" измерительные процедуры при диагностике личности приводят к типологизации: отнесению конкретной личности к тому или иному типу. Примером такой типологии являются классические темпераменты: холерик, сангвиник, меланхолик и флегматик. (2, 3).
Самая простая номинативная шкала называется дихотомической. При измерениях по дихотомической шкале измеряемые признаки можно кодировать двумя символами или цифрами, например 0 и 1, или 2 и 6, или буквами А и Б, а также любыми двумя отличающимися друг от друга символами. Признак, измеренный по дихотомической шкале, называется альтернативным. В дихотомической шкале все объекты, признаки или изучаемые свойства разбиваются на два непересекающихся класса, при этом исследователь ставит вопрос о том, «проявился» ли интересующий его признак у испытуемого или нет.
Исследователь, пользующийся шкалой наименований, может применять следующие инвариантные статистики: относительные частоты, моду, корреляции случайных событий, критерий.
2 Шкала порядка
Шкалы порядка позволяют не только разбивать объекты на классы, но и упорядочивать классы по возрастанию (убыванию) изучаемого признака: об объектах, отнесенных к одному из классов, известно, но только то, что они тождественны друг другу, но также, что они обладают измеряемым свойством в большей или меньшей степени, чем объекты из других классов. Но при этом порядковые шкалы не могут ответить на вопрос, на сколько (во сколько раз), это свойство выражено сильнее у объектов из одного класса, чем у объектов из другого класса. Примерами шкал порядка могут служить уровень образования, военные и академические звания, тип поселения (большой - средний - малый город - село), некоторые естественно научные шкалы (твердость минералов, сила шторма). Так, можно сказать, что 6-балльный шторм заведомо сильнее, чем 4-балльный, но нельзя определить, насколько он сильнее; выпускник университета имеет более высокий образовательный уровень, чем выпускник средней школы, но разница в уровне образования не поддается непосредственному измерению Упорядоченные классы достаточно часто нумеруют в порядке возрастания (убывания) измеряемого признака. Однако в силу того, что различия в значении признака точному измерению не поддаются, к шкалам порядка, также как к номинальным шкалам, действия арифметики не применяют. Исключение составляют оценочные шкалы, при использовании которых объект получает (или сам выставляет) оценки, исходя из определенного числа баллов. К таким шкалам относятся, например, школьные оценки, для которых считается вполне допустимым рассчитывать, например, средний балл по аттестату зрелости. Строго говоря, подобные шкалы являются частным случаем шкалы порядка, так как нельзя определить, на сколько знания "отличника" больше, чем знания "троечника", но в силу некоторых теоретических соображений с ними часто обращаются, как со шкалами более высокого ранга - шкалами интервалов. Другим частным случаем шкалы порядка является ранговая шкала, применяемая обычно в тех случаях, когда признак заведомо не поддается объективному измерению (например, красота или степень неприязни), или когда порядок объектов более важен, чем точная величина различий между ними (места, занятые в спортивных соревнованиях). В таких случаях эксперту иногда предлагают проранжировать по определенному критерию некий список объектов, качеств, мотивов и т.п.
Числа, присвоенные объектам в этой шкале будут говорить о степени выраженности измеряемого свойства у этих объектов, но, при этом, равные разности чисел не будут означать равных разностей в количествах измеряемых свойств. В зависимости от желания исследователя большее число может означать большую степень выраженности измеряемого свойства (как в шкале твердости минералов) или меньшую (как в таблице результатов спортивных соревнований), но в любом случае, между числами и соответствующими им объектами сохраняется отношение порядка. Шкала порядка задается положительными числами, и чисел в этой шкале может быть столько, сколько существует измеряемых объектов. Примеры шкал порядка в психологии: рейтинг испытуемых по какому-либо признаку, результаты экспертной оценки испытуемых и т.д.
Если можно установить порядок следования психологических объектов в соответствии с выраженностью какого-то свойства, то используется порядковая шкала.
Порядковая шкала образуется, если на множестве реализовано одно бинарное отношение - порядок (отношения "больше" и "меньше"). Построение шкалы порядка - процедура более сложная, чем создание шкалы наименований. Она позволяет зафиксировать ранг, или место, каждого значения переменной по отношению к другим значениям. Этот ранг может быть результатом установления порядка между какими-то стимулами или их атрибутами самим испытуемым (первичный показатель методик ранжирования, или рейтинговых процедур), но может и устанавливаться экспериментатором в качестве вторичного показателя (например, при ранжировке частот положительных ответов испытуемых на вопросы, относящиеся к разным темам).
Классы эквивалентности, выделенные при помощи шкалы наименований, могут быть упорядочены по некоторому основанию. Различают шкалу строгого порядка (строгая упорядоченность) и шкалу слабого порядка (слабая упорядоченность). В первом случае на элементах множества реализуются отношения "больше" и "меньше", а во втором - "не больше или равно" и "меньше или равно".
Значения величин можно заменять квадратами, логарифмами, нормализовать и т.д. При таких преобразованиях значений величин, определенных по шкале порядка, место объектов на шкале не изменяется, т.е. не происходит инверсий.
Еще Стивенс высказывал точку зрения, что результаты большинства психологических измерений в лучшем случае соответствуют лишь шкалам порядка.
Шкалы порядка широко используются в психологии познавательных процессов, экспериментальной психосемантике, социальной психологии: ранжирование, оценивание, в том числе педагогическое, дают порядковые шкалы. Классическим примером использования порядковых шкал является тестирование личностных черт, а также способностей. Большинство же специалистов в области тестирования интеллекта полагают, что процедура измерения этого свойства позволяет использовать интервальную шкалу и даже шкалу отношений.
Как бы то ни было, эта шкала позволяет ввести линейную упорядоченность объектов на некоторой оси признака. Тем самым вводится важнейшее понятие - измеряемое свойство, или линейное свойство, тогда как шкала наименований использует "вырожденный" вариант интерпретации понятия "свойство": "точечное" свойство (свойство есть - свойства нет).
В порядковой (ранговой) шкале должно быть не меньше трех классов (групп): например, ответы на опросник: «да», «не знаю», «нет»; или - низкий, средний, высокий; и т.п., с тем расчетом, чтобы можно было расставить измеренные признаки по порядку. Именно поэтому эта шкала и называется порядковой, или ранговой, шкалой.
От классов просто перейти к числам, если считать, что низший класс получает ранг (код или цифру) 1, средний - 2, высший - 3 (или наоборот). Чем больше число классов разбиений всей экспериментальной совокупности, тем шире возможности статистической обработки полученных данных и проверки статистических гипотез.
При кодировании порядковых переменных им можно приписывать любые цифры (коды), но в этих кодах (цифрах) обязательно должен сохраняться порядок, или, иначе говоря, каждая последующая цифра должна быть больше (или меньше) предыдущей.
Для интерпретации данных, полученных посредством порядковой шкалы, можно использовать более широкий спектр статистических мер (в дополнение к тем, которые допустимы для шкалы наименований).
В качестве характеристики центральной тенденции можно использовать медиану, а в качестве характеристики разброса - процентили. Для установления связи двух измерений допустима порядковая корреляция (т-Кэнделла и р-Спирмена).
Числовые значения порядковой шкалы нельзя складывать, вычитать, делить и умножать. (2, 3).
3 Шкала интервалов
В отличие от двух предыдущих шкал в шкале интервалов существует единица измерения, либо реальная (физическая), либо условная, при помощи которой можно установить количественные различия между объектами в отношении измеряемого свойства. Равные разности чисел в этой шкале будут означать равные различия в количествах измеряемого свойства у разных объектов, или у одного и того же объекта в разные моменты времени. Однако, то, что одно число оказывается в несколько раз больше другого не обязательно говорит о таких же отношениях в количествах измеряемых свойств. В шкале интервалов может быть задействована вся числовая ось, но при этом ноль не указывает на отсутствие измеряемого свойства, т.к. нулевая точка часто является произвольной (например, как в шкале температуры по Цельсию), либо вообще отсутствует, как в некоторых шкалах психологических тестов. Благодаря таким свойствам, шкала интервалов получила широкое распространение в психологии, на ней основано большинство психодиагностических шкал: интеллекта, самооценки и др.
Примерами шкалы интервалов являются календарное время, температурные шкалы Цельсия и Фаренгейта. Шкала оценок с заданным количеством баллов часто рассматривается как интервальная в предположении, что минимальное и максимальное положения на шкале соответствуют некоторым крайним оценкам или позициям, и интервалы между баллами шкалы имеют одинаковую длину. К шкалам отношений относится абсолютное большинство измерительных шкал, применяемых в науке, технике и быту: рост и вес, возраст, расстояние, сила тока, время (длительность промежутка между двумя событиями), температура по Кельвину (абсолютный нуль).
Шкала интервалов является первой метрической шкалой. Собственно, начиная с нее, имеет смысл говорить об измерениях в узком смысле этого слова - о введении меры на множестве объектов. Шкала интервалов определяет величину различий между объектами в проявлении свойства. С помощью шкалы интервалов можно сравнивать два объекта. При этом выясняют, насколько более или менее выражено определенное свойство у одного объекта, чем у другого.
Интервальная шкала позволяет применять практически всю параметрическую статистику для анализа данных, полученных с ее помощью. Помимо медианы и моды для характеристики центральной тенденции используется среднее арифметическое, а для оценки разброса - дисперсия. Можно вычислять коэффициенты асимметрии и эксцесса и другие параметры распределения. Для оценки величины статистической связи между переменными применяется коэффициент линейной корреляции Пирсона и т.д.
Большинство специалистов по теории психологических измерений полагают, что тесты измеряют психические свойства с помощью шкалы интервалов. Прежде всего, это касается тестов интеллекта и достижений. Численные значения одного теста можно переводить в численные значения другого теста с помощью линейного преобразования: х" = ах + b.
Ряд авторов полагают, что относить тесты интеллекта к шкалам интервалов нет оснований. Во-первых, каждый тест имеет "нуль" - любой индивид может получить минимальный балл, если не решит ни одной задачи в отведенное время. Во-вторых, тест имеет максимум шкалы - балл, который испытуемый может получить, решив все задачи за минимальное время. В-третьих, разница между отдельными значениями шкалы неодинакова. По крайней мере, нет никаких теоретических и эмпирических оснований утверждать, что 100 и 120 баллов по шкале IQ отличаются настолько же, насколько 80 и 100 баллов.
Скорее всего, шкала любого теста интеллекта является комбинированной шкалой, с естественным минимумом и\или максимумом, но порядковой. Однако эти соображения не мешают тестологам рассматривать шкалу IQ как интервальную, преобразуя "сырые" значения в шкальные с помощью известной процедуры "нормализации" шкалы
4 Шкала отношений
Шкала отношений является единственной шкалой, на которой определено отношение отношения, то есть, разрешены арифметические действия умножения и деления и, следовательно, возможен ответ на вопрос, во сколько раз одно значение больше или меньше другого.
В шкале отношений также существует единица измерения, при помощи которой объекты можно упорядочить в отношении измеряемого свойства и установить количественные различия между ними. Особенностью шкалы отношений является то, что к числам в этой шкале применимы все математические операции, а это значит, что отношения между числами соответствуют, или пропорциональны отношениям между количествами измеряемых свойств у разных объектов. В этой шкале обязательно, по, крайней мере, теоретически, присутствует ноль, который говорит об абсолютном отсутствии измеряемого свойства. Большинство ныне существующих физических шкал (длины, массы, времени, температуры по Кельвину и т.д.) являются яркими примерами шкал отношений. В психологии из шкал отношений наиболее часто используются шкала вероятностей и шкала ""сырых"" баллов (количество решенных заданий, количество ошибок, количество положительных ответов и т.д.).
Шкалу отношений называют также шкалой равных отношений. Особенностью этой шкалы является наличие твердо фиксированного нуля, который означает полное отсутствие какого-либо свойства или признака. Шакала отношений является наиболее информативной шкалой, допускающей любые математические операции и использование разнообразных статистических методов.
Шкала отношений, по сути, очень близка интервальной, поскольку если строго фиксировать начало отсчета, то любая интервальная шкала превращается в шкалу отношений.
Шкала отношений показывает данные о выраженности свойств объектов, когда можно сказать, во сколько раз один объект больше или меньше другого.
Это возможно лишь тогда, когда помимо определения равенства, рангового порядка, равенства интервалов известно равенство отношений. Шкала отношений отличается от шкалы интервалов тем, что на ней определено положение "естественного" нуля. Классический пример - шкала температур Кельвина.
Именно в шкале отношений производятся точные и сверхточные измерения в таких науках, как физика, химия, микробиология и др. Измерение по шкале отношений производятся и в близких к психологии науках, таких, как психофизика, психофизиология, психогенетика.
Измерения массы, времени реакции и выполнения тестового задания - области применения шкалы отношений.
Отличием этой шкалы от абсолютной является отсутствие "естественной" масштабной единицы.
2.5 Другие шкалы
Дихотомическая классификация часто рассматривается как вариант шкалы наименований. Это верно, за исключением одного случая, когда мы измеряем свойство, имеющее всего лишь два уровня выраженности: "есть - нет", так называемое "точечное" свойство. Примеров таких свойств много: наличие или отсутствие у испытуемого какой-либо наследственной болезни (дальтонизм, болезнь Дауна, гемофилия и др.), абсолютного слуха и др. В этом случае исследователь имеет право проводить "оцифровку" данных, присваивая каждому из типов цифру "1" или "О", и работать с ними, как со значениями шкалы интервалов.
Шкала разностей, в отличие от шкалы отношений, не имеет естественного нуля, но имеет естественную масштабную единицу измерения. Ей соответствует аддитивная группа действительных чисел. Классическим примером этой шкалы является историческая хронология. Она сходна со шкалой интервалов. Разница лишь в том, что значения этой шкалы нельзя умножать (делить) на константу. Поэтому считается, что шкала разностей - единственная с точностью до сдвига. В психологии шкала разностей используется в методиках парных сравнений.
Абсолютная шкала является развитием шкалы отношений и отличается от нее тем, что обладает естественной единицей измерения. В этом ее сходство со шкалой разностей. Число решенных задач ("сырой" балл), если задачи эквивалентны, - одно из проявлений абсолютной шкалы.
В психологии абсолютные шкалы не используются. Данные, полученные с помощью абсолютной шкалы, не преобразуются, шкала тождественна сама себе. Любые статистические меры допустимы.
В литературе, посвященной проблемам психологических измерений, упоминаются и другие типы шкал: ординальная (порядковая) с естественным началом, логинтервальная, упорядоченная метрическая и др.
Все написанное выше относится к одномерным шкалам. Шкалы могут быть и многомерными: шкалируемый признак в этом случае имеет ненулевые проекции на два (или более) соответствующих параметра. Векторные свойства, в отличие от скалярных, являются многомерными.
2.6 Взаимосвязь различных школ между собой
Между самими шкалами тоже существуют отношения порядка. Каждая из перечисленных шкал является шкалой более высокого порядка по отношению к предыдущей шкале. Так, например, измерения, произведенные в шкале отношений можно перевести в шкалу интервалов, из шкалы интервалов - в шкалу порядка и т.д., но обратная процедура будет невозможна, т.к. при переходе к шкалам более низкого порядка часть информации (о единицах измерения, количествах свойств) теряется.
Тем не менее, это не всегда означает, что шкалы более высокого порядка предпочтительней по отношению к шкалам более низкого порядка, а в ряде случаев - даже, наоборот. Например, количество правильно выполненных заданий в тесте интеллекта (шкала отношений) гораздо выгодней представить в стандартизированной шкале IQ (шкала интервалов), а множество разнообразных поведенческих реакций в виде типа личности (шкала наименований). Наконец, существуют такие признаки объектов, которые можно измерить в любой шкале, как возраст, и такие, к измерению которых подходит только одна шкала, как, например, пол. На выбор измерительной шкалы, таким образом, могут оказывать влияние многие факторы, как достоинства самой шкалы, так и специфика самого объекта измерения.
·Измерительные инструменты
Для проведения измерения в естественных и точных науках, в быту применяются специальные измерительные инструменты, которые во многих случаях представляют собой довольно сложные приборы. Качество измерения определяется точностью, чувствительностью и надежностью инструмента. Точностью инструмента называется его соответствие существующему в данной области стандарту (эталону). Чувствительность инструмента определяется величиной единицы измерения, например, в зависимости от природы объекта, расстояние может измеряться в микронах, сантиметрах или километрах. Надежностью называется способность инструмента к воспроизведению результатов измерения в пределах чувствительности шкалы. В гуманитарных и общественных науках (за исключением экономики и демографии) большинство показателей не поддаются непосредственному измерению с помощью традиционных технических средств. Вместо них применяются всевозможные анкеты, тесты, стандартизированные интервью и т.п., получившие общее название измерительного инструментария. Кроме очевидных проблем точности, чувствительности и надежности, для гуманитарного инструментария существует также достаточно острая проблема валидности - способности измерять именно то свойство личности, которое предполагается его автором.
·Качественные и количественные шкалы
В силу того, что символы, присваиваемые объектам в соответствии с порядковыми и номинальными шкалами, не обладают числовыми свойствами, даже если записываются с помощью цифр, эти два типа шкал получили общее название качественных, в отличие от количественных шкал интервалов и отношений. Шкалы интервалов и отношений имеют общее свойство, отличающее их от качественных шкал: они предполагают не только определенный порядок между объектами или их классами, но и наличие некоторой единицы измерения, позволяющей определять, насколько значение признака у одного объекта больше или меньше, чем у другого. Другими словами, на обеих количественных шкалах, помимо отношений тождества и порядка, определено отношение разности, к ним можно применять арифметические действия сложения и вычитания. Естественно, что символы, приписываемые объектам в соответствии с количественными измерительными шкалами, могут быть только числами.
·Шкала интервалов и шкала отношений
Основное различие между шкалами интервалов и отношений состоит в том, что шкала отношений имеет абсолютный нуль, не зависящий от произвола наблюдателя и соответствующий полному отсутствию измеряемого признака, а на шкале интервалов нуль устанавливается произвольно или в соответствии с некоторыми условными договоренностями.
·Дискретные и непрерывные шкалы
Количественные шкалы делятся на: дискретные и непрерывные. Дискретные показатели измеряются в результате счета: число детей в семье, количество решенных задач, и т.п. Непрерывные шкалы предполагают, что измеряемое свойство изменяется непрерывно, и при наличии соответствующих приборов и средств, могло бы быть измерено с любой необходимой степенью точности. Результаты измерения непрерывных показателей довольно часто выражаются целыми числами (например, шкала IQ для измерения интеллекта), но это связано не с природой самих показателей, а с характером измерительных процедур. Различают первичные и вторичные измерения. Первичные получаются в результате непосредственного измерения: длина и ширина прямоугольника, число родившихся и умерших за год, ответ на вопрос теста, оценка на экзамене. Вторые являются результатом некоторых манипуляций с первичными измерениями, обычно с помощью неких логико-математических конструкций: площадь прямоугольника, демографические коэффициенты смертности, рождаемости и естественного прироста, результаты тестирования, зачисление или не зачисление в институт по результатам вступительных экзаменов.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
измерительный шкала психологический дискретный
Таким образом, шкалы измерений принято классифицировать по типам измеряемых данных, которые определяют допустимые для данной шкалы математические преобразования, а также типы отношений, отображаемых соответствующей шкалой. Современная классификация шкал была предложена в 1946 году Стэнли Смитом Стивенсом.
·Шкала наименований (номинальная, классификационная)
Используется для измерения значений качественных признаков. Значением такого признака является наименование класса эквивалентности, к которому принадлежит рассматриваемый объект. Примерами значений качественных признаков являются названия государств, цвета, марки автомобилей и т.п. Такие признаки удовлетворяют аксиомам тождества:
Либо А = В, либо А? В;
Если А = В, то В = А;
Если А = В и В = С, то А = С.
При большом числе классов используют иерархические шкалы наименований. Наиболее известными примерами таких шкал являются шкалы, используемые для классификации животных и растений.
С величинами, измеряемыми в шкале наименований, можно выполнять только одну операцию - проверку их совпадения или несовпадения. По результатам такой проверки можно дополнительно вычислять частоты заполнения (вероятности) для различных классов, которые могут использоваться для применения различных методов статистического анализа - критерия согласия Хи-квадрат, критерия Крамера для проверки гипотезы о связи качественных признаков и др.
·Порядковая шкала (или ранговая)
Строится на отношении тождества и порядка. Субъекты в данной шкале ранжированы. Но не все объекты можно подчинить отношению порядка. Например, нельзя сказать, что больше круг или треугольник, но можно выделить в этих объектах общее свойство-площадь, и таким образом становится легче установить порядковые отношения. Для данной шкалы допустимо монотонное преобразование. Такая шкала груба, потому что не учитывает разность между субъектами шкалы. Пример такой шкалы: балльные оценки успеваемости (неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично), шкала Мооса.
·Интервальная шкала (она же Шкала разностей)
Здесь происходит сравнение с эталоном. Построение такой шкалы позволяет большую часть свойств существующих числовых систем приписывать числам, полученным на основе субъективных оценок. Например, построение шкалы интервалов для реакций. Для данной шкалы допустимым является линейное преобразование. Это позволяет приводить результаты тестирования к общим шкалам и осуществлять, таким образом сравнение показателей. Пример: шкала Цельсия.
Начало отсчёта произвольно, единица измерения задана. Допустимые преобразования - сдвиги. Пример: измерение времени.
·Абсолютная шкала (она же Шкала отношений)
это интервальная шкала, в которой присутствует дополнительное свойство - естественное и однозначное присутствие нулевой точки. Пример: число людей в аудитории. В шкале отношений действует отношение "во столько-то раз больше". Это единственная из четырёх шкал имеющая абсолютный ноль. Нулевая точка характеризует отсутствие измеряемого качества. Данная шкала допускает преобразование подобия (умножение на константу). Определение нулевой точки - сложная задача для психологических исследований, накладывающая ограничение на использование данной шкалы. С помощью таких шкал могут быть измерены масса, длина, сила, стоимость (цена). Пример: шкала Кельвина (температур, отсчитанных от абсолютного нуля, с выбранной по соглашению специалистов единицей измерения - Кельвин).
Из рассмотренных шкал первые две являются не метрическими, а остальные - метрическими.
С вопросом о типе шкалы непосредственно связана проблема адекватности методов математической обработки результатов измерения. В общем случае адекватными являются те статистики, которые инвариантны относительно допустимых преобразований используемой шкалы измерений.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.Гусев А.Н., Измайлов Ч.А., Михалевская М.Б. Измерение в психологии М., 1998. С. 10 - 16
.Бахрушин В.Є. Методи аналізу даних. - Запоріжжя, КПУ, 2011
.Дружинин В.Н. Экспериментальная психология: Учебное пособие - М.: ИНФРА-М, 1997.
.Дружинин В.Н. Экспериментальная психология- СПб: Питер, 2000. - 320с.
.Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов. М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 2003. - 366 с.
.Корнилова Т.В. Введение в психологический эксперимент. Учебник для ВУЗов. М.: Изд-во ЧеРо, 2001.
.Математика в социологии: Моделирование и обраб. информации / [Й. Гальтунг, П. Суппес, С. Новак и др.] ; Ред. [и авт. предисл.] А. Аганбегян [и др.] ; Пер. с англ. Л. Б. Черного; Под ред. А. Г. Аганбегяна и Ф. М. Бородкина. - М.: Мир, 1977. - 551 с.: ил.
.Перегудов Ф.И., Тарасевич Ф.П. Введение в системный анализ. - М.: Высшая школа, 1989. - 367 с.
.Психологические измерения: Основы теории измерений (Суппес П., Зинес Дж.). Психофизические шкалы (Льюс Р., Галантер Е.): 1967 - 196 с.
.Словарь практического психолога / Сост. С.Ю. Головин. - Мн: Харвест, М.: ООО «Издательство АСТ», 2003.
11.Stevens, Stanley Smith, "Psychophysics: introduction to its perceptual neural and social prospects", Wiley, 1975.
Репетиторство
Нужна помощь по изучению какой-либы темы?
Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку
с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.
ШКАЛА ИЗМЕРЕНИЙ
ШКАЛА ИЗМЕРЕНИЙ
Основополагающее понятие метрологии, позволяющее количественно или к.-л. другим способом определить свойство объекта. Ш. и. является более общим понятием, чем единица физической величины,
отсутствующая в нек-рых видах измерений.
Ш. и. необходимы как для количественных (длина, темп-pa), так и для качественных (цвет) проявлений свойств объектов (тел, веществ, явлений, процессов). Проявления свойства образуют , элементы к-рого находятся в опре-дел. логич. отношениях между собой, т. е. являются т. н. системой с отношениями. Имеются в виду отношения типа "эквивалентность" (равенство), "больше", "меньше", возможность "суммирования" элементов или "деления" одного на другой. Ш. и. получается гомоморфным отображением множества элементов такой системы с отношениями на множество чисел или, в более общем случае,- на знаковую систему с аналогичными логич. отношениями. Такими знаковыми системами, напр., являются: множество обозначений (названий) цветов, совокупность классификац. символов или понятий, множество названий состояний объекта, множество баллов оценки состояний объекта и т. п. При таком отображении используется модель объекта, достаточно адекватно (для решения измерит. задач) описывающая логич. структуру рассматриваемого свойства этого объекта.
В соответствии с логич. структурой свойств в теории измерений принято в основном различать 5 типов Ш. и.: шкалы наименований, порядка, разностей (интервалов), отношений и абс. шкалы (см. табл.).
Шкала наименований характеризуется только отношением эквивалентности к.-л. качественного проявления свойства.
Пример такой Ш. и.- классификация (оценка) цвета объекта по наименованиям (красный, белый, сине-зелёный и т. д.), опирающаяся на стандартные атласы цветов (в атласах цвета могут обозначаться усл. номерами). Измерения выполняются путём сравнения при опре-дел. освещении образцов цвета из атласа с исследуемым цветом и установления их эквивалентности.
Шкала порядка описывает свойства, для к-рых имеют смысл не только отношение эквивалентности, но и отношение порядка по возрастанию или убыванию количественного проявления свойства. Характерный пример шкал порядка - шкалы чисел твёрдости тел, шкалы баллов землетрясений, шкалы баллов ветра и т. д. В такого рода шкалах в принципе нет возможности введения единицы измерений, также не имеют смысла суждения, во сколько раз больше или меньше проявления конкретных свойств. Разл. варианты шкал порядка для одного и того же свойства связаны между собой монотонными зависимостями. В шкалах порядка может быть (иметь смысл) нуль или его может не быть. Так, шкалы твёрдости начинаются с не-к-рого ненулевого значения, сейсмич. шкала начинается с одного балла, а шкала Бофорта для силы ветра - с нулевого значения.
Шкала разностей (интервалов) отличается от шкалы порядка тем, что для описываемого ею свойства имеют смысл не только отношения эквивалентности и порядка, но и пропорциональности или суммирования интервалов (разностей) между разл. количественными проявлениями свойства. Характерный пример - шкалы времени; интервалы времени можно суммировать или вычитать, складывать же даты к.-л. событий бессмысленно. Шкалы разностей имеют усл. нуль, опирающийся на к.-л. репер (напр., шкала Цельсия, см. Температурная шкала).
Шкала отношений описывает свойства, ко множеству количественных проявлений к-рых применимы отношения эквивалентности, порядка, пропорциональности или суммирования (а следовательно, и вычитания, и умножения). В шкале отношений существует естеств. критерий нулевого количественного проявления свойства, т. е. нуль имеет не усл. значение, а вполне определ. физ. смысл. Примеры шкал отношений - шкала массы, термодина-мич. температурная шкала.
Абсолютные шкалы обладают всеми признаками шкал отношений, но дополнительно в них существует естественное однозначное определение единицы измерения. Такие Ш и. соответствуют относит. величинам - отношениям одноимённых физ. величин, описываемых шкалами отношений. К таким величинам относятся коэф. усиления, колебат. системы, коэф. ослабления и т. п. Среди абс. шкал выделяются ограниченные по диапазону шкалы, значения к-рых находятся в пределах от 0 до 1. Они характерны для , амплитудной модуляции и т. п. величин.
Большинство свойств, к-рые рассматривают в практич. метрологии, описывается одномерными Ш. и. Однако имеются свойства, к-рые в принципе можно описать только многомерными шкалами. Таковы, напр., трёхмерные шкалы цвета в колориметрии.
Шкалы сортности изделий и продуктов в общем случае являются многомерными шкалами наименований и опираются на ряд факторов, каждый из к-рых определяется по специализир. шкалам наименований порядка или по общим шкалам интервалов, отношений и абсолютным, описывающим общепринятые физ. величины и параметры (напр., размеры изделия).
Практич. реализация шкал конкретных свойств достигается путём стандартизации шкал и единиц измерений, а также способов и условий их однозначного воспроизведения эталонами
и средствами измерений. Понятие единицы измерений, неизменной для любых участков шкалы, имеет смысл только для шкал отношений и разностей, а также
для абс. шкал. В соответствии с этим положением единицы измерений, охватываемые междунар. системой единиц, соответствуют величинам, описываемым только шкалами отношений и разностей. Конкретные матем. ф-лы в науке и технике могут связывать также только такие величины и разности величин, к-рые описываются соответственно шкалами отношений, разностей и абсолютными. Поэтому измерения в шкалах порядка и наименований иногда наз. оцениванием.
Для шкал отношений и разностей в нек-рых случаях оказывается недостаточным установление только единиц измерений. Так, даже для таких величин, как , сила света, темп-pa, к-рым в международной системе единиц соответствуют осн. единицы - , кандела, кельвин, практич. системы измерений опираются также на спец. Ш. и. Кроме того, сами единицы в ряде случаев определяются с использованием фундаментальных физических констант
или метрологич. констант (см., напр., Кандела).
По мере развития метрологии наблюдается тенденция рассматривать в качестве объектов измерений все новые, и не только физические, свойства и соответствующие им величины. Так, напр., формируется и описан метрологич. подход к изучению и описанию свойств биол., психологич., социальных (в т. ч. экономических) систем, создаются новые и совершенствуются уже существующие Ш. и.
Лит.: Пфанцагль И., Теория измерений, пер. с англ., M., 1976; Кнорринг В. Г., Теоретические основы информационно-измерительной техники. Основные понятия теории шкал. Конспект лекций. Л., 1983; Пиотровский Я., Теория измерений для инженеров, пер. с польск., M., 1989; Брянский Л. H., Дойников А. С., Краткий справочник метролога, M., 1991; Кнорринг В. Г., Шкалы, используемые при измерениях, "Измерит. техника", 1992. №6, с. 11; Брянский Л. H., Дойников А. С., Крупин Б. H., Шкалы, единицы и
Рациональное использование информации, получаемой от экспертов, возможно при условии преобразования ее в форму, удобную для дальнейшего анализа, направленного на подготовку и принятие решений.
Если эксперт в состоянии сравнить и оценить возможные варианты действий, приписав каждому из них определенное число, будем считать, что он обладает определенной системой предпочтений.
В зависимости от того, по какой шкале могут быть заданы эти предпочтения, экспертные оценки содержат больший или меньший объем информации и обладают различной способностью к математической формализации.
В жизни мы привыкли пользоваться количественными показателями, выраженными в разных измерительных шкалах. Можно записать, что вес тела равен 5 кг, но можно использовать и другую шкалу – 5000 г или 0,005 т, но можно указать интервал: «вес тела больше 3 кг и меньше 10 кг» или «вес тела в пределах первого десятка». Вместо «750 мм ртутного столба» можно записать «1000 гектопаскалей», а можно указать, что «атмосферное давление несколько выше нормы». «451 градус по Фаренгейту» (температура возгорания бумаги) – это «232,78 градусов Цельсия» или «505,93 градусов Кельвина». Понятия «шкала измерения», «тип шкалы», «допустимые преобразования» играют важную роль в теории измерений.
Рассмотрим основные логические аксиомы, используемые в экспертных методах при формализации информации с помощью различных шкал.
5.1. Дихотомическая (номинальная) шкала.
Если различные градации шкалы измерения показателя нельзя упорядочить по условию «больше – меньше» («лучше – хуже») или расположить в порядке появления во времени, то такая совокупность градаций образует шкалу наименований. Шкалу наименований имеют показатели, градации которых могут быть заданы только в виде перечня. В частности, шкала, содержащая всего две градации – «есть» и «нет» (дихотомическая) – является шкалой наименований. Характеристикой центральной тенденции (среднего) на шкале наименований может служить «мода» – значение показателя, которое указано наибольшим числом экспертов, или же наибольшее число раз встретилось в проведённом статистическом исследовании (если речь идёт, например, о видах дефектов продукции). Для небольшого числа оценок эта характеристика также теряет смысл, и тогда центральную тенденцию характеризовать невозможно. Если в распределении двум (или нескольким) каким-либо значениям показателя соответствуют приблизительно одинаковые числа оценок, распределение называют бимодальным (полимодальным).
При использовании номинальных шкал исследуемые объекты можно опознавать на основе трех аксиом идентификации:
1) Х либо есть Y , либо есть не Y ;
2) если Х есть Y , то Y есть Х ;
3) если Х есть Y , и Y есть Z , то Х есть Z .
Дихотомическая шкала позволяет отметить, относится ли данный объект к интересующей нас группе или нет.
Пример. Две сравниваемые переменные X (семейное положение) и Y (отчисление из института) измеряются в дихотомической шкале (табл.22).
Для вычисления коэффициента корреляции Пирсона составляется таблица сопряжённости (табл.23).
Таблица 22
Вычисление коэффициента корреляции Пирсона для дихотомических данных проводится по формуле
(5.1) |
Напомним, что при случайные величины и являются независимыми, а при связь между ними линейная. Так как в нашем случае , то корреляция между величинами существует, но непрямая ().
5.2. Шкала наименований.
Шкала наименований (номинальная), в которой числа используются исключительно с целью обозначения объектов. Кроме сравнения на совпадение, любые арифметические действия над числами, обозначающими имена объектов, бессмысленны. С помощью шкалы наименований часто отмечают, присутствует или отсутствует какой-то признак в объекте.
Аксиомы тождества:
(5.2) |
Допустимые операции:
– символ Кронекера ;
– число наблюдений го класса; ;
– относительная частота класса ;
– мода ;
– коэффициент согласия (конкордации);
– проверка по тесту .
Примеры номинальных шкал: названия болезней; почтовые, телефонные, автомобильные индексы регионов и стран; пол человека.
5.3. Шкала порядков (ранговые шкалы).
В случаях, когда исследуемые объекты можно в результате сравнения расположить в определенной последовательности с учетом какого-либо существенного фактора (факторов), используются порядковые шкалы, позволяющие устанавливать равноценность или доминирование.
Шкала порядков (ранговая шкала), при измерении в которой мы получаем информацию лишь о том, в каком порядке объекты следуют друг за другом по какому-то свойству. Примером могут служить шкалы, по которым измеряются твёрдость материалов, «похожесть» объектов. К этой группе шкал относится большинство шкал, используемых в социологических и психологических исследованиях. Частным случаем шкал порядка являются балльные шкалы, используемые в практике спортивного судейства или оценок знаний в школе. Если, скажем, по некоторой дисциплине два студента имеют оценки «отлично» и «удовлетворительно», то можно лишь утверждать, что уровень подготовки по этой дисциплине первого студента выше (больше), чем второго, но нельзя сказать, на сколько или во сколько раз больше.
Оказывается, что в таких случаях проблема оценки тесноты связи разрешима, если упорядочить, или ранжировать, объекты анализа по степени выраженности измеряемых признаков. При этом каждому объекту присваивается определенный номер, называемый рангом. Например, объекту с наименьшим проявлением (значением) признака присваивается ранг 1, следующему за ним – ранг 2 и т.д. Объекты можно располагать и в порядке убывания проявления (значений) признака. Если объекты ранжированы по двум признакам, то имеется возможность оценить тесноту связи между признаками, основываясь на рангах, т.е. тесноту ранговой корреляции.
В дополнение к (5.2) в этой шкале необходимо добавить следующие аксиомы - аксиомы упорядоченности :
Существует ещё шкала частичного порядка . «Частичный порядок» часто встречается при оценке субъективных предпочтений.
Примеры шкалы порядков :
1) Более длинный отпуск предпочтительнее уменьшения рабочего дня на полчаса. Уменьшение рабочего дня на полчаса предпочтительнее повышения зарплаты на 500 р. Но необязательно более длинный отпуск предпочтительнее повышения зарплаты на 500 р.
2) Что лучше: клетчатые шарфы или семискоростные миксеры; чтение литературы или прослушивание музыкальных записей.
3) Шкала твёрдости по Моору (1811 г.): из двух минералов твёрже тот, который оставляет на другом царапины или вмятины при достаточно сильном соприкосновении. Эталоны: 1 – тальк, 2 – гипс, 3 – кальций, 4 – флюорит, 5 – апатит, 6 – ортоклаз, 7 – кварц, 8 – топаз, 9 – корунд, 10 – алмаз.
4) Шкала силы ветра по Бофорту (1806 г.). Сила ветра определяется по волнению моря: 0 – штиль, 4 – умеренный ветер, 6 – сильный ветер, 10 – шторм (буря), 12 – ураган.
5) Балльные шкалы оценки знаний учащихся.
Отметим, что отношение порядка ничего не говорит о дистанции между сравниваемыми классами. Поэтому порядковые экспериментальные данные, даже если они выражены числами, нельзя рассматривать как числа, например, нельзя вычислять выборочное среднее.
Допустимые операции:
– ранг объёма
, где . | (5.3) |
Ранги можно присваивать по старшему в группе одинаковых, по среднему, либо случайным образом.
– выборочная медиана, т.е. наблюдение с рангом , ближайшее к ;
– выборочные квантили любого уровня , т.е. наблюдение с рангом , ближайшим к ;
– коэффициенты корреляции: - Спирмена, - Кендалла.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена находится по формуле:
. | (5.4) |
где и ранги го объекта по переменным и , число пар наблюдений.
Если ранги всех объектов равны (), то , т.е. при полной прямой связи . При полной обратной связи, когда ранги объектов по двум переменным расположены в обратном порядке, можно показать, что и по формуле (5.4) . Во всех остальных случаях .
Коэффициент ранговой корреляции Кендалла находится по формуле:
. | (5.5) |
Для определения необходимо ранжировать объекты по одной переменной в порядке возрастания рангов и определить соответствующие их ранги () по другой переменной. Статистика равна общему числу инверсий (нарушений порядка, когда большее число стоит слева от меньшего) в ранговой последовательности (ранжировке ) . При полном совпадении двух ранжировок имеем и ; при полной противоположности можно показать, что и . Во всех остальных случаях .
5.4. Шкала интервалов.
Шкала интервалов, в которой можно менять как начало отсчёта, так и единицы измерения. Если упорядочивание объектов можно выполнить настолько точно, что известны расстояния между любыми двумя из них, то измерение оказывается значительно сильнее, чем в шкале порядка. Естественно выражать все измерения в единицах, хотя и произвольных, но одинаковых по всей длине шкалы. Следствием такой равномерности шкал этого класса является независимость отношения двух интервалов от того, в какой из шкал эти интервалы измерены (т.е. какова единица длины и какое значение принято за начало отсчёта).
Если в одной шкале измеренные интервалы равны и , а во второй – и , то справедливо соотношение: .
В этой шкале только интервалы могут иметь смысл настоящих чисел, допускающих математические действия с ними. Примерами шкал интервалов могут быть шкалы для измерения температуры (Цельсия, Кельвина (К = 273 + С), Фаренгейта (F = 5/9C + 32)), давления, промежутков времени и т.п.
Допустимые операции – определение интервала между двумя измерениями. Над интервалами – любые арифметические или статистические операции.
5.5. Шкала отношений.
Шкала отношений, в которой начало отсчёта неизменно, а единицы измерения можно изменять (масштабировать). К предыдущим пяти аксиомам необходимо добавить еще четыре.
Аксиомы аддитивности :
(5.6) |
Измерения в этой шкале являются полноправными числами, с ними можно выполнять любые арифметические действия. Этот класс шкал обладает следующей особенностью: отношение двух наблюдаемых значений измеряемой величины не зависит от того, в какой из шкал произведены измерения, т.е. .
Примерами шкал отношений являются шкалы для измерения веса, длины и т.п.
5.6. Абсолютная шкала.
Абсолютная шкала, результатом измерения в которой является число, выражающее количество элементов в множестве. В данной шкале начало отсчёта и единицы измерения неизменны. Числа, полученные по такой шкале, можно складывать, вычитать, делить, умножать – все эти действия будут осмысленными. Из перечисленных шкал абсолютная шкала является самой «сильной», а номинальная – самой «слабой». Действительно, из абсолютных данных можно узнать всё то, что могут дать любые другие шкалы, но не наоборот.
Пример. Из того, что в группе А – 15 студентов, в группе В – 20, а в группе С – 30, можно узнать:
в А студентов в 2 раза меньше, чем в С (шкала отношений);
в В студентов на 10 человек меньше, чем в С (шкала интервалов);
в А студентов просто меньше, чем в В и С (шкала порядка);
в А, В, С студентов не одно и то же количество (шкала наименований).
Использовать только абсолютные шкалы не всегда целесообразно. Для получения информации о свойствах, измеряемых в сильных шкалах, требуются более совершенные (сложные, дорогие) измерительные приборы и процедуры. К тому же, таких приборов и процедур для измерения многих характеристик просто нет. Например, можно выяснить, чего данному человеку хочется больше – чая или кофе, но определить, насколько больше или во сколько раз, затруднительно.
В зависимости от существа или важности того или иного фактора на этапе подготовки и принятия решений могут быть использованы различные шкалы. В таблице приведены типы шкал и их основные характеристики.